柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式，它们在高等数学中的应用很普遍。下面是小编精心为大家整理的柯西不等式的几种证明方法（最新3篇），在大家参照的同时，也可以分享一下给您最好的朋友。
所谓柯西不等式是指:设ai，bi∈R（i=1，2…，n，），则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等号当且仅当==…=时成立。
柯西不等式证法:
柯西不等式的一般证法有以下几种：
（1）柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai， bi，则有 （∑ai^2） * （∑bi^2） ≥ （∑ai *bi）^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = （∑bi^2） * x^2 + 2 * （∑ai * bi） * x + （∑ai^2）
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi）^2 - 4 * （∑ai^2） * （∑bi^2） ≤ 0.
于是移项得到结论。
（2）用向量来证。
m=(a1，a2.。.。.。an) n=(b1，b2.。.。.。bn)
mn=a1b1+a2b2+。.。.。.+anbn=(a1^2+a2^2+。.。.。.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+。.。.。.+bn^2)^(1/2)乘以cosX.
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+。.。.。.+anbn小于等于a1^2+a2^2+。.。.。.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+。.。.。+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式。
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法。
柯西不等式应用:
可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献。
柯西简介:
1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。
他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。.。在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方。
柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础。
在三门主科中，只有数学最容易拉开距离，也最为同学、家长所关心。由于高考的特殊性，有些同学在考试开始的前5分钟就已乱了方寸，导致谁都不希望的结果。
1、做好前面5个小题。不要小看这几个小题，对稳定情绪，鼓舞士气有很大作用。有些同学就是由于前面个别小题做得不顺，影响整个考试情绪。而一旦前面发挥得好，会感到一路顺手，所向披靡。
2、认真审题。由于前面题目简单，想抓紧时间做完，以便腾出时间做后面的难题，结果把题目看错了，非常可惜。如2000年上海卷第1题就有不少同学犯这种低级错误。
3、确实遇到暂时不会做的题目，可以放一放，但很多同学做不到。担心前面就有不会做，后面肯定更难，从而心慌手抖，头脑一片空白。
要知道难易对大家都一样，你不会别人可能也不会。遇到暂时不会做的题目要敢于“合理放弃”，必要时你可以抬头看看，周围的人还在做这道难题，让他们浪费时间吧，我去做会做的题目。这种心理暗示会减少你的压力，等会做的做完了，状态很好，势如破竹，再回过来，有时一看就会了，这就能使你出色发挥。
4、对多数同学而言，最后两题的最后一问是“用不着”做的，如果前面不细心失误而把时间放攻难题上是得不偿失，犯了策略性错误。
5、心理素质不太好的同学，不一定要先看整个试卷，因为遇到难题会紧张。
一、一般形式
（∑（ai））（∑（bi）） ≥ （∑ai·bi）
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
一般形式的证明
（∑（ai^2））（∑（bi^2）） ≥ （∑ai·bi） ^2
证明：
等式左边=( www.shancaoxiang.com ai·bj+aj·bi)+。.。.。.。.。.。.。.。.。.。. 共n2 /2项
等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+。.。.。.。.。.。.。.。.。.。共n2 /2项
用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证
二、向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，。.。，bn)(n∈N，n≥2)
等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
向量形式的证明
令m=(a1，a2，…，an)，n=(b1，b2，…，bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<<b>m，n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<<b>m，n> ∵cos<<b>m，n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) 注：“√”表示平方根。