旧书不厌百回读，熟读精思子自知，这里是小编征途帮助大家整编的指数与指数幂的运算【优秀6篇】，希望对大家有一些参考价值。
课题
§1.5同底数幂的除法
教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索同底数幂除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义。
2.了解同底数幂除法的运算性质，并能解决一些实际问题。
3.理解零指数幂和负整数指数幂的意义。
(二)能力训练要求
1.在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力和有条理的表达能力。
2.提高学生观察、归纳、类比、概括等能力。
(三)情感与价值观要求
在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心，提高数学素养。
教学重点
同底数幂除法的运算性质及其应用。
教学难点
零指数幂和负整数指数幂的意义。
探索——引导相结合
在教师的引导下，组织学生探索同底数幂除法的运算性质及零指数幂和负整数指数幂的意义。
教具准备
教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
看课本图片
图1－15
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌。要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？
［师］这是和数学有密切联系的现实世界中的一个问题，下面请同学们根据幂的意义和除法的意义，得出这个问题的结果。
［生］根据题意，可得需要这种杀菌剂1012÷109个。
而1012÷109= =
=10×10×10=1000(个)
［生］我是这样算1012÷109的。
1012÷109=(109×103)÷109
= =103=1000.
［师］1012÷109是怎样的一种运算呢？
［生］1012×109是同底数幂的乘法运算，1012÷109我们就称它为同底数幂的除法运算。
［师］很好！通过上面的问题，我们会发现同底数幂的除法运算和现实世界有密切的联系，因此我们有必要了解同底数幂除法的运算性质。
Ⅱ.了解同底数幂除法的运算及其应用
［师］下面我们就先来看同底数幂除法的几个特例，并从中归纳出同底数幂除法的运算性质。(出示投影片§1.5 B)
做一做：计算下列各式，并说明理由(m>n).
(1)108÷105;(2)10m÷10n;(3)(－3)m÷(－3)n.
［生］解：(1)108÷105
=(105×103)÷105 ——逆用同底数幂乘法的性质
=103；
［生］解：(1)108÷105
= = ——幂的意义
=1000=103；
［生］解：(2)10m÷10n
= ——幂的意义
= =10m－n ——乘方的意义
(3)(－3)m÷(－3)n
= ——幂的意义
= ——约分
=(－3)m－n ——乘方的意义
［师］我们利用幂的意义，得到：
(1)108÷105=103=108－5;
(2)10m÷10n=10m－n(m>n);
(3)(－3)m÷(－3)n=(－3)m－n(m>n).
观察上面三个式子，运算前后指数和底数发生了怎样的变化？你能归纳出同底数幂除法的运算性质吗？
［生］从上面三个式子中发现，运算前后的底数没有变化，商的指数是被除数与除数指数的差。
［生］从以上三个特例，可以归纳出同底数幂的运算性质：am÷an=am－n(m,n是正整数且m>n).
［生］小括号内的条件不完整。在同底数幂除法中有一个最不能忽略的问题：除数不能为0.不然这个运算性质无意义。所以在同底数幂的运算性质中规定这里的a不为0，记作a≠0.在前面的三个幂的运算性质中，a可取任意数或整式，所以没有此规定。
［师］很好！这位同学考虑问题很全面。所以同底数幂的除法的运算性质为：am÷an=am－n(a≠0,m、n都为正整数，且m>n)运用自己的语言如何描述呢？
［生］同底数幂相除，底数不变，指数相减。
［师］能用幂的意义说明这一性质是如何得来的吗？
［生］可以。由幂的意义，得
am÷an= = =am－n.(a≠0)
［例1］计算：
(1)a7÷a4;(2)(－x)6÷(－x)3;
(3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2;
(5)(m－n)8÷(n－m)3;(6)(－m)4÷(－m)2.
(7)地震的强度通常用里克特震级表示。描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂。例如用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震。加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？
分析：开始练习同底数幂的除法运算时，不提倡直接套用公式，应说明每一步的理由，进一步体会乘方的意义和幂的意义。
解：(1)a7÷a4=a7－4=a3;(a≠0)
(2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3=(－x)3=－x3;(x≠0)
(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1=(xy)3=x3y3;(xy≠0)
(4)b2m+2÷b2=b(2m+2)－2=b2m;(b≠0)
(5)(m－n)8÷(n－m)3=(n－m)8÷(n－m)3=(n－m)8－3=(n－m)5;(m≠n)
(6)(－m)4÷(－m)2=(－m)4－2=(－m)2=m2.(m≠0)
(7)根据题意，得：
106÷104=106－4=102=100
所以加利福尼亚的地震强度是荷兰的100倍。
评注：1°am÷an=am－n(a≠0,m、n是正整数，且m>n)中的a可以代表数，也可以代表单项式、多项式等。
2°(5)小题，(m－n)8÷(n－m)3不是同底的，而应把它们化成同底，或将(m－n)8化成(n－m)8,或把(n－m)3化成－(m－n)3.
3°(6)小题，易错为(－m)4÷(－m)2=－m2.－m2的底数是m,而(－m)2的底数是－m,所以(－m)4÷(－m)2=(－m)2=m2.
Ⅲ.探索零指数幂和负整数指数幂的意义
想一想：
10000=104, 16=24,
1000=10(), 8=2(),
100=10(), 4=2(),
10=10(). 2=2().
猜一猜
1=10(), 1=2(),
0.1=10(), =2(),
0.01=10(), =2(),
0.001=10(). =2()
［师］我们先来看“想一想”，你能完成吗？完成后，观察你会发现什么规律？
［生］1000=103， 8=23，
100=102，4=22，
10=101.2=21.
观察可以发现，在“想一想”中幂都大于1，幂的值每缩小为原来的 (或 )，指数就会减小1.
［师］你能利用幂的意义证明这个规律吗？
［生］设n为正整数，10n>1,当它缩小为原来的 时，可得10n× = = = =10n－1;又如2n>1,当它缩小为原来的 时，可得2n× = =2n÷2=2n－1.
［师］保持这个规律，完成“猜一猜”。
［生］可以得到猜想
1=100， 1=20，
=0.1=10－1, =2－1,
=0.01=10－2, =2－2,
=0.001=10－3. =2－3.
［师］很棒！保持上面的规律，大家可以发现指数不是我们学过的正整数，而出现了负整数和0.
正整数幂的意义表示几个相同的数相乘，如an(n为正整数)表示n个a相乘。如果用此定义解释负整数指数幂，零指数幂显然无意义。根据“猜一猜”，大家归纳一下，如何定义零指数幂和负整数指数幂呢？
［生］由“猜一猜”得
100=1，
10－1=0.1= ,
10－2=0.01= = ,
10－3=0.001= = .
20=1
2－1= ,
2－2= = ,
2－3= = .
所以a0=1,
a－p= (p为正整数).
［师］a在这里能取0吗？
［生］a在这里不能取0.我们在得出这一结论时，保持了一个规律，幂的值每缩小为原来的 ,指数就会减少1，因此a≠0.
［师］这一点很重要。0的0次幂，0的负整数次幂是无意义的，就如同除数为0时无意义一样。因为我们规定：a0=1(a≠0);a－p= (a≠0,p为正整数)
我们的规定合理吗？我们不妨假设同底数幂的除法性质对于m≤n仍然成立来说明这一规定是合理的。
例如由于103÷103=1,借助于同底数幂的除法可得103÷103=103－3=100,因此可规定100=1.一般情况则为am÷am=1(a≠0).而am÷am=am－m=a0,所以a0=1(a≠0);
而am÷an= (m<n)==,根据同底数幂除法得am÷an=am－n(m<n,m－n为负数).令n－m=p,m－n=－p,则am－n=,即a－p=(a≠0,p为正整数).
因此上述规定是合理的。
［例3］用小数或分数表示下列各数：
(1)10－3;(2)70×8－2;(3)1.6×10－4.
解：(1)10－3= = =0.001;
(2)70×8－2=1× = ;
(3)1.6×10－4=1.6× =1.6×0.0001=0.00016.
Ⅳ.课时小结
［师］这一节课收获真不小，大家可以谈一谈。
［生］我这节课最大的收获是知道了指数还有负整数和0指数，而且还了解了它们的定义：a0=1(a≠0),a－p= (a≠0,p为正整数).
［生］这节课还学习了同底数幂的除法：am÷an=am－n(a≠0,m,n为正整数，m>n),但学习了负整数和0指数幂之后，m>n的条件可以不要，因为m≤n时，这个性质也成立。
［生］我特别注意了我们这节课所学的几个性质，都有一个条件a≠0,它是由除数不为0引出的，我觉得这个条件很重要。
［师］同学们收获确实不小，祝贺你们！
Ⅴ.课后作业
1.课本P21，习题1.7第1、2、3、4题。
2.总结幂的四个运算性质，并反思作业中的错误。
板书设计
§1.5同底数幂的除法
1.同底数幂的除法
归纳：am÷an=am－n(a≠0,m、n都是正整数且m>n)
说明：am÷an= = =am－n.
语言描述：同底数幂的除法，底数不变，指数相减。
2.零指数幂和负整数指数幂
a0=1(a≠0)
a－p= (a≠0,p为正整数)
3.例题(由学生板演)
备课资料
参考练习
1.下面计算中，正确的是( )
A.a2n÷an=a2
B.a2n÷a2=an
C.(xy)5÷xy3=(xy)2
D.x10÷(x4÷x2)=x8.
2.(2×3－12÷2)0等于( )
A.0 B.1 C.12 D.无意义
3.若x2m+1÷x2=x5,则m的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(a2)4÷a3÷a等于( )
A.a5 B.a4 C.a3 D.a2
5.若32x+1=1,则x= ;若3x= ,则x= .
6.xm+n÷xn=x3,则m= .
7.计算：［－2－3－8－1×(－1)－2］×(－ )－2×70.
8.计算：( )－1+( )0－( )－1.
9.已知10m=3,10n=2,求102m－n的值。
10.已知3x=a,3y=b,求32x－y的值。
答案：1.D2.D3.D4.B
1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算．
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算．
2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．
3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．
教学建议
教材分析
（1）本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质．教学难点是根式的概念和分数指数幂的概念．
（2）由于分数指数幂的概念是借助次方根给出的，而次根式，次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．
（3）学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．
教法建议
（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的，不妨在设计时可以考虑以下几点：
①先以具体数字为例，复习正整数幂，介绍各部分的名称及运算的本质是乘方，让它与学生熟悉的运算联系起来，树立起转化的观点．
②当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备．
③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出即谁的四次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再把指数换成，写成即谁的次方等于，在语言描述的同时，也把数学的符号语言自然的给出．
（2）在次方根的定义中并没有将次方根符号化原因是结论的多样性，不能乱表示，所以需要先研究规律，再把它符号化．按这样的研究思路学生对次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．
教学设计示例
课题根式
教学目标：
1．理解次方根和次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算．
2．通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．
3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．
教学重点难点：
重点是次方根的概念及其取值规律．
难点是次方根的概念及其运算根据的研究．
教学用具：投影仪
教学方法：启发探索式．
教学过程：
一。复习引入
今天我们将学习新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展．
下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗？
以为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数，称为幂．
教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义．．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出及，同时追问这里的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念
2．5指数(板书)
1.关于整数指数幂的复习
(1)概念
既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出：
(2)运算性质：;;．
复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢？应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．
2.根式(板书)
我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起．
如
如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即，求？
问题也就是：谁的平方是16，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4有个名字叫16的平方根．
再如
知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．
(根据情况教师可再适当举几个例子，如，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)
在以上几个式子会解释的基础上，提出即一个数的次方等于，求这个数，即开次方，那么这个数叫做的次方根．
(1)次方根的定义：如果一个数的次方等于(，那么这个数叫做的次方根．
(板书)
对定义理解的第一步就是能把上述语言用数学符号表示，请同学们试试看．
由学生翻译为：若(，则叫做的次方根．(把它补在定义的后面)
翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的的次方根就没有用符号表示，原因是什么？(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对的次方根的取值规律的研究．
(2)的次方根的取值规律：(板书)
先让学生看到的次方根的个数是由的奇偶性决定的，所以应对分奇偶情况讨论
当为奇数时，再问学生的次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按的正负分为三种情况．
Ⅰ当为奇数时
，的次方根为一个正数；
，的次方根为一个负数；
，的次方根为零．(板书)
当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明为偶数时的结论，再由学生总结归纳
Ⅱ当为偶数时
，的次方根为两个互为相反数的数；
，的次方根不存在；
，的次方根为零．
对于这个规律的总结，还可以先看的正负，再分的奇偶，换个角度加深理解．
有了这个规律之后，就可以用准确的数学符号去描述次方根了．
(3)的次方根的符号表示(板书)
可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当为奇数时，由于无论为何值，次方根都只有一个值，可用统一的符号表示，此时要求学生解释符号的含义：为正数，则为一个确定的正数，为负数，则为一个确定的负数，为零，则为零．
当为偶数时，为正数时，有两个值，而只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成，其含义为为偶数时，正数的次方根有两个分别为和．
为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题：一定表示一个正数吗？中的一定是正数或非负数吗？让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结．对于符号，当为偶数是，它有意义的条件是；当为奇数时，它有意义的条件时．
把称为根式，其中为根指数，叫做被开方数．(板书)
(4)根式运算的依据(板书)
由于是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．
如应该得什么？有学生讲出理由，根据次方根的定义，可得Ⅰ=．(板书)
再问：应该得什么？也得吗？
若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如吗？吗？让学生能发现结果与有关，从而得到Ⅱ=．(板书)
为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．
三．巩固练习
例1.求值
(1)．(2)．
(3)．(4)．
(5)．(
要求学生口答，并说出简要步骤．
四．小结
1．次方根与次根式的概念
2．二者的区别
3．运算依据
五．作业略
六．板书设计
2．5指数(2)取值规律(4)运算依据
1.复习
二、重点、难点分析
本节教学的重点是幂的乘方与积的乘方法则的理解与掌握，难点是法则的灵活运用。
1.幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即
(都是正整数)
幂的乘方
的推导是根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质。
幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把的结果错误地写成，也不能把的计算结果写成。
幂的乘方是变乘方为(底数不变，指数相乘的)乘法，如；而同底数幂的乘法是变(同底数的幂)乘为(幂指数)加，如。
2.积和乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即
(为正整数).
三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质。例如：
3.不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆。幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变).
4.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据。对三个性质的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解。在这三个幂的运算中，要防止符号错误：例如，;还要防止运算性质发生混淆：等等。
三、教法建议
1.幂的乘方导出的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法性质。教学时，也要注意导出这一性质的过程。可先以具体指数为例，明确幕的乘方的意义，导出性质，如
对于从指数连加得到指数相乘，要根据学生情况多作一些说明。以为例，再一次说明
可以写成。这一点是导出幂的乘方性质的关键，务必使学生真正理解。在此基础上再导出性质。
2.使学生要严格区分同底数幂乘法性质与幂的乘方性质的不同，不能混淆。具体讲解可从下面两点来说明：
(1)牢记不同的运算要使用不同的性质，运算的意义决定了运算的性质。
(2)记清幂的运算与指数运算的关系：
(同底)幂相乘指数相加(“乘”变“加”，降一级运算);
幂乘方指数相乘(“乘方”变“乘法”，降一级运算).
了解到有关幂的两个重要性质都有“使原运算仅降一级运算”的规律，可使自己更好掌握有关性质。
3.在教学的各个环节中，注意启发学生，不仅掌握法则，还要明确为什么。三种运算法则全讲完之后，学生最易产生法则间的混淆，为了解决这个问题除叫学生熟记法则之外，在学生回答问题和写作业时，注意解题步骤，或及时发现问题，说明出现问题的原因；要注意防止两个错误：
(1)(-2xy)4=-24x4y4.
(2)(x+y)3=x3+y3.
幂的乘方与积的乘方(一)
一、教学目标
1.理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算。
2.通过推导性质培养学生的抽象思维能力。
3.通过运用性质，培养学生综合运用知识的能力。
4.培养学生严谨的学习态度以及勇于创新的精神。
5.渗透数学公式的结构美、和谐美。
二、学法引导
1.教学方法：引导发现法、尝试指导法。
2.学生学法：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题。
三、重点·难点及解决办法
(-)重点
准确掌握幂的乘方法则及其应用。
(二)难点
同底数幂的乘法和幂的乘方的综合应用。
(三)解决办法
在解题的过程中，运用对比的方法让学生感受、理解公式的联系与区别。
四、课时安排
一课时。
五、教具学具准备
投影仪、胶片。
六、师生互动活动设计
1.复习同底数幂乘法法则并进行、的计算，从而引入新课，在探究规律的过程中，得出幂的乘方公式，并加以充分的理解。
2.教师举例进行示范，师生共练以熟悉幂的乘方性质。
3.设计错例辨析和练习，通过不同的题型，从不同的角度加深对公式的理解。
七、教学步骤
(-)明确目标
本节课重点是掌握幂的乘方运算性质并能进行较灵活的应用
(二)整体感知
幂的乘方法则的应用关键是判断准其适用的条件和形式。
(三)教学过程
1.复习引入
(1)叙述同底数幂乘法法则并用字母表示。
(2)计算：①②
2.探索新知，讲授新课
(1)引入新课：计算和和
提问学生式子、的意义，启发学生把幂的乘方转化为同底数暴的乘法。计算过程按课本，并注明每步计算的根据。
观察题目和结论：
推测幂的乘方的一般结论：
(2)幂的乘方法则
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
字母表示：.(，都是正整数)
推导过程按课本，让学生说出每一步变形的根据。
(3)范例讲解
例1计算：
①②
③④
解：①
②
③
④
例2计算：
①
②
解：①原式
②原式
练习：①P971，2
②错例辨析：下列各式的计算中，正确的是()
A.B.
C.D.
(四)总结、扩展
同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：
幂运算种类指数运算种类
同底幂乘法乘法加法
幂的乘方乘方乘法
八、布置作业
P101A组1～3;B组1.
一、选择题(每小题3分，共18分，每题有且只有一个答案正确。)1.下列运算正确的是()A. 3﹣2=6 B. m3•m5=m15 C. (x﹣2)2=x2﹣4 D. y3+y3=2y3考点： 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂。分析： 根据负整数指数幂，同底数幂的乘法，完全平分公式，合并同类项，即可解答。解答： 解：A、 ，故错误；B、m3•m5=m8，故错误；C、(x﹣2)2=x2﹣4x+4，故错误；D、正确；故选：D.点评： 本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法，完全平分公式，合并同类项，解决本题的关键是熟记相关法则。2.在﹣ 、 、π、3.212212221…这四个数中，无理数的个数为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4考点： 无理数。分析： 无理数就是无限不循环小数。理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称。即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数。由此即可判定选择项。解答： 解：﹣ 是分数，是有理数；和π，3.212212221…是无理数；故选C.点评： 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数。3.现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm.若要订一个三角架，则下列四根木棒的长度应选()A. 10cm B. 30cm C. 50cm D. 70cm考点： 三角形三边关系。分析： 首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步找到符合条件的答案。解答： 解：根据三角形的三边关系，得第三根木棒的长度应大于10cm，而小于50cm.故选B点评： 本题考查了三角形中三边的关系求解；关键是求得第三边的取值范围。4.下列语句中正确的是()A. ﹣9的平方根是﹣3 B. 9的平方根是3C. 9的算术平方根是±3 D. 9的算术平方根是3考点： 算术平方根；平方根。分析： A、B、C、D分别根据平方根和算术平方根的定义即可判定。解答： 解：A、﹣9没有平方根，故A选项错误；B、9的平方根是±3，故B选项错误；C、9的算术平方根是3，故C选项错误。D、9的算术平方根是3，故D选项正确。故选：D.点评： 本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用。如果x2=a(a≥0)，则x是a的平方根。若a>0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根。若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根。5.某商品进价10元，标价15元，为了促销，现决定打折销售，但每件利润不少于2元，则最多打几折销售()A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折考点： 一元一次不等式的应用。分析： 利用每件利润不少于2元，相应的关系式为：利润﹣进价≥2，把相关数值代入即可求解。解答： 解：设打x折销售，每件利润不少于2元，根据题意可得：15× ﹣10≥2，解得：x≥8，答：最多打8折销售。故选：C.点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，本题的关键是得到利润的关系式，注意“不少于”用数学符号表示为“≥”。6.如图，AB∥CD，∠CED=90°，EFCD，F为垂足，则图中与∠EDF互余的角有()A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个考点： 平行线的性质；余角和补角。分析： 先根据∠CED=90°，EFCD可得出∠EDF+∠DEF=90°，∠EDF+∠DCE=90°，再由平行线的性质可知∠DCE=∠AEC，故∠AEC+∠EDF=90°，由此可得出结论。解答： 解：∠CED=90°，EFCD，∠EDF+∠DEF=90°，∠EDF+∠DCE=90°.AB∥CD，∠DCE=∠AEC，∠AEC+∠EDF=90°.故选B.点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等。二、填空题(每小题3分，共30分)7.﹣8的立方根是 ﹣2 .考点： 立方根。分析： 利用立方根的定义即可求解。解答： 解：(﹣2)3=﹣8，﹣8的立方根是﹣2.故答案为：﹣2.点评： 本题主要考查了平方根和立方根的概念。如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x3=a)，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根。读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。8.x2•(x2)2= x6 .考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法。分析： 根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，即可解答。解答： 解：x2•(x2)2=x2•x4=x6.故答案为：x6.点评： 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键。9.若am=4，an=5，那么am﹣2n= .考点： 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方。分析： 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，即可解答。解答： 解：am﹣2n= ，故答案为： .点评： 本题考查同底数幂的除法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题。10.请将数字0.000 012用科学记数法表示为 1.2×10﹣5 .考点： 科学记数法—表示较小的数。分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。解答： 解：0.000 012=1.2×10﹣5.故答案为：1.2×10﹣5.点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|120，就可以求出n的范围，从而求出n的最小值。解答： 解：(n﹣2)•180﹣360>120，解得：n>4 .因而n的最小值是5.点评： 本题已知一个不等关系，就可以利用不等式来解决。14.若a，b为相邻整数，且a1，故答案为：a>1.点评： 此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键。三、解答题(本大题共10小条，102分)17.计算：(1)x3÷(x2)3÷x5(x+1)(x﹣3)+x(3)(﹣ )0+( )﹣2+(0.2)2015×52015﹣|﹣1|考点： 整式的混合运算。分析： (1)先算幂的乘方，再算同底数幂的除法；先利用整式的乘法计算，再进一步合并即可；(3)先算0指数幂，负指数幂，积的乘方和绝对值，再算加减。解答： 解：(1)原式=x3÷x6÷x5=x﹣4;原式=x2﹣2x﹣3+2x﹣x2=﹣3;(3)原式=1+4+1﹣1=5.点评： 此题考查整式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键。18.因式分解：(1)x2﹣9b3﹣4b2+4b.考点： 提公因式法与公式法的综合运用。专题： 计算题。分析： (1)原式利用平方差公式分解即可；原式提取b，再利用完全平方公式分解即可。解答： 解：(1)原式=(x+3)(x﹣3);原式=b(b2﹣4b+4)=b(b﹣2)2.点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键。19.解方程组：① ;② .考点： 解二元一次方程组。分析： 本题可以运用消元法，先消去一个未知量，变成一元一次方程，求出解，再将解代入原方程，解出另一个，即可得到方程组的解。解答： 解：(1)①×2，得：6x﹣4y=12 ③，②×3，得：6x+9y=51 ④，则④﹣③得：13y=39，解得：y=3，将y=3代入①，得：3x﹣2×3=6，解得：x=4.故原方程组的解为： .方程②两边同时乘以12得：3(x﹣3)﹣4(y﹣3)=1，化简，得：3x﹣4y=﹣2 ③，①+③，得：4x=12，解得：x=3.将x=3代入①，得：3+4y=14，解得：y= .故原方程组的解为： .点评： 本题考查了二元一次方程组的解法，利用消元进行求解。题目比较简单，但需要认真细心。20.解不等式组： ，并在数轴上表示出不等式组的解集。考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。专题： 计算题。分析： 分别解两个不等式得到x
一、幂运算法则的结构特征
1、同底数幂相乘：am.an=am+n；（m，n都是正整数）
2、幂的乘方：（am）n=amn；（m，n都是正整数）
3、积的乘方：（ab）n=anbn；（n是正整数）
4、同底数幂相除：am÷an=amn；（a≠0，m>n，m，n都是正整数）
5、商的乘方：（ba ）n=bnan ；（a≠0，n为正整数）
6、零次幂：a0=1；（a≠0）
二、理解幂的运算法则的内涵与外延
1、对于整数 m， n，幂的运算有如下法则： ① am# an= am+ n，② （ am）n= amn，
③ （ ab）m= ambm，④ am÷an= am- n（ a X ） ， 学习时， 要能熟练地将每条法则翻译成文字语言， 如法则①可叙述为/ 同底数的幂相乘， 底数不变，指数相加0，进而弄清/ 同底数0幂的内涵与外延（即不仅仅是指底数同为“a”的幂，也可以是底数同为“b， ”“x ”，“x + y”， “ x2- y2” ，的幂） ，几个幂相乘， 只要底数相同（不管底数是单项式或多项式）都可以利用这个法则进行计算。
2、明确运算法则的异同
法则的相同点：
①幂的运算法则的运算都是底数不变，只是对指数进行运算；
②法则中作为公式的底数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（ 单项式或多项式） ；
③指数都是正整数。
法则的不同点：
①同底数的幂相乘（除），底数不变，指数相加（减） ；
②幂的乘方是指数相乘；
③积（商） 的乘方是每个因式各自乘方。
三、正确理解幂的各个法则的条件和结论
1、同底数幂相乘的首要条件是“同底”即相乘的几个幂的底数不论是有理数还是整式的形式，都必须相同才行。
例1、计算（-a ） 3.a.（-a）4
分析 应先把底数分别是a.-a的幂统一成同底的幂
解，原式=（-a3）.a.a4=-（a3.a.a4）=a8
值得注意的是 对于（1）34.23，（2）（2p+3q）2.（3p+2q）2
2、积的乘方要抓住结论中“每个因式分别乘方 ”这个要点
例2.计算（an+1bnc2）3
错解：原式=am+1bnc6，其错误原因是“因式”am+1及bn没有分别乘方。
正确解法：（am+1bnc2）3=a3m+3b3nc6
四、弄清幂的运算之间， 以及它们与合并同类项之间的区别
同底数幂相乘与幂的乘方法则容易混淆。 因此， 应通过比较加以区分。
例 3 下列计算是否有错， 如果有错， 指出错误原因。（ 1） 92×93= 96； （ 2） x8+ x8= x16
；（ 3） （ a2）3= a5； （ 4） 5m3- 2m3= 3.
解： 都是错误的。理由： （ 1） 、（ 3） 是把同底数幂相乘与幂的乘方混淆了； （2）、（4） 是把同底数幂相乘与合并同类项混淆了。错误的因都是概念不清 .
上例各题的正确结果是：（1） 92×93= 95； （2） x8+ x8= 2x8；（ 3） （ a2）3= a6； （4） 5m3- 2m3= 3m3
.为了防止出错， 在解题时应首先搞清楚运算是“加”、“乘”， 还是“乘方”， 然后根据相应的运算法则计算。通过（2）、（ 4） 的分析，搞清合并同类项不仅要求底数相同，而且指数也必须相同，才能应用法则“幂不变，系数相加”来计算。而幂的乘法只要“同底”就可以应用法则“底不变，指数相加”来计算。 由此可见，这两个法则中的“不变”与“相加”是截然不同的。
五、课后总结，归纳挂理，
一、直接利用性质
例1．计算：（1）16×2n×4 （2）（x－y）4 （x－y）2 （－y－x）5
分析：（1）式中，16，4均可表示成2的指数幂形式，于是原题可转化为同底数幂的乘法来进行。
（2）把（x－y）看成整体，注意到（y－x）5＝－（x－y）5
解：（1）原式＝24×2n×22＝26＋n
（2）原式＝－（x－y）4（x－y）2（ x－y）5＝－（ x－y）11
例2．已知a7・am＝a10，求m的值。
分析：am・an＝am＋na7・am＝a7＋m
故原等式两边均是a的指数幂形式，根据幂相等，底数相同，从而构造出一元一次方程求解。
解：a7・am＝a10
a7＋m＝ a10
7＋m＝10故m＝3
二、逆用性质
例3．已知ax＝2，ay＝3，求a2x＋3y的值。
分析：am・an＝am＋nam＋n＝aman
（am）n＝amnamn＝（am）n＝（an）m
解：ax＝2 ay＝3
a2x＋3y＝a2x・a3y＝（ax）2・（ay）3＝22×33＝108
例4．（1）已知22n＋1＋4n＝48，求n
（2）计算572×0．0435＋（－）2003×（323 ）2004
（3）计算（0．04）2007×［（－5）2007］2
分析：am・an＝am＋nam＋n＝（am） ・ an
（ab）n＝anbn anbn＝（ab）n
（am）n＝amnamn＝（am）n
解：（1）22n＋1＋4n＝48
22n×2＋22n＝24×3
22n×3＝24×3
2n＝4 故n＝2
（2）原式＝（52）36×0．0435＋（－）2003×（323 ）2004
＝2535×25×0．0435＋（－）2003×（）2004×
＝（25×0．04）35×25＋［－×］2003×
＝25－
＝21
（3）原式＝（0．04）2007×［（－5）2］2007
＝（0．04×25） 2007＝1
三、利用幂的性质进行大小比较
例5．已知a＝999111 b＝111222，试比较a与b的大小。
分析：注意到a和b的指数的最大公约数是111，联想到幂的乘方公式。把a、b化为111次幂然后进行比较。
解：b＝111222＝［（111）2］111＝12321111
a＜b
例6．比较2100与375的大小
分析：由于2100和375的底数与指数都不同，不能直接比较大小，但注意到100与75的最大公约数是25，于是可用幂的乘方公式换算进行比较。
解：2100＝（24）25＝1625
375＝（33）25＝2725
375＞2100